Síntesis de nanotubos de carbono

Publicado por primera vez el 12-03-2014 en Papel de periódico (http://papeldeperiodico.com/2014/03/12/sintesis-de-nanotubos-de-carbono/)

Después de mucho pensar sobre qué tema elegir para esta entrega pensé que sería buena idea escribir un poco acerca de uno de los proyectos en el que actualmente trabajo en el grupo de investigación del prof. Petrus d’Amorim Santa Cruz Oliveira, del Departamento de Química Fundamental de la Universidad Federal de Pernambuco (Recife, Brasil), donde el objetivo principal es producir nanotubos de carbono mediante la técnica de ablación láser.

Los nanotubos de carbono han despertado bastante interés en la comunidad científica en las últimas dos décadas debido a sus peculiares e interesantes propiedades. Fueron descritos por primera vez por el científico japonés S. Ijima en 1991, aunque con anterioridad, el también japonés Morinobu Endo (en la década de los 70) y los científicos soviéticos L. V. Radushkevich y V. M. Lukyanovich (en 1952) ya habían obtenido imágenes (mediante microscopía electrónica) de estas estructuras. El estudio de los soviéticos pasó inadvertido en Occidente por haber sido publicado en ruso.

Los nanotubos de carbono

Los nanotubos de carbono son una forma alotrópica del carbono (alotropía ‒del griego άλλος, otro, y τρόπος, cambio‒ es la propiedad de algunos elementos químicos de poseer estructuras químicas diferentes). Otras formas del carbono son el grafito ‒como el de las puntas de los lápices‒; el diamante; los fulerenos ‒esferoides de los cuales el más conocido tiene 60 átomos‒; y el grafeno ‒lámina de un átomo de espesor donde los enlaces entre los átomos pueden representarse como lados de hexágonos que recuerdan la estructura de un panal de abejas‒. De hecho, los nanotubos de carbono podrían verse como una o varias láminas de grafeno enrolladas formando cilindros concéntricos, o como uno o más fulerenos concéntricos sumamente alargados. Los nanotubos, pueden ser eléctricamente conductores o semiconductores en función del ángulo formado entre el eje de los hexágonos de la pared y el eje del nanotubo. En cuanto a sus dimensiones físicas, los nanotubos de carbono monocapa suelen tener diámetros de 5 o 10 nanómetros (nm, una mil millonésima parte de un metro) y los multicapa de unos 20 o 30 nm. Sus longitudes pueden ser de unos cuantos micrómetros (μm, una millonésima de metro) hasta uno o tres milímetros.

Formas alotrópicas del carbono. Grafeno (arriba), fulereno (izquierda), nanotubo (centro), grafito (derecha).

En general, los nanotubos de carbono pueden sintetizarse mediante tres métodos: deposición catalítica en fase de vapor (CVD, por sus siglas inglés), arco eléctrico y ablación láser (que es la que nos ocupa ahora). En el primero, se requiere una fuente de carbono ‒que puede ser un gas o una disolución orgánica «atomizada» en minúsculas gotas‒ que alimente un reactor ‒utilizando un gas inerte como vehículo‒ a una temperatura de unos 800°C. Los nanotubos crecen en una superficie adecuada ‒sustrato‒ dentro del reactor. En los métodos restantes la fuente de carbono es grafito.

Nanotubos de carbono de una capa.

En el método de arco eléctrico, los dos electrodos son de grafito, los cuales adquieren tan elevada temperatura ‒debido al intenso arco eléctrico de unos 200 Amperios‒ que el plasma de carbono producido puede devenir en la formación de nanotubos. Con respecto al método de ablación láser, un rayo láser de alta potencia incide en un blanco de grafito, obteniéndose también un plasma que produce nanotubos en el momento en el éste toque las paredes más frías del reactor.

Una atmósfera inerte en los tres métodos es fundamental para obtener nanotubos de carbono, de otra manera, si se utilizara aire, el oxígeno ocasionaría la combustión del grafito o del material de carbono que estaría depositándose en el sustrato (método por CVD). El uso de pequeñas cantidades de metales como hierro, cobalto, o níquel ‒como catalizadores‒ y el control de las condiciones experimentales como, temperatura, cantidad de otros elementos reactivos en el gas inerte ‒o en la fuente de carbono‒, entre otras variables, pueden definir la morfología final de los nanotubos (una sola o múltiples capas, diámetro, longitud, entre otras características).

Los nanotubos de carbono se han utilizado para hacer dispositivos electrónicos como diodos o transistores; superficies de anclaje de nanopartículas metálicas o grupos funcionales químicos para su aplicación en sensores; elementos de ensamble para nanoestructuras diversas; relleno de polímeros para la obtención de materiales compuestos de propiedades especiales; actuadores; supercondensadores, entre otras muchas aplicaciones.

Sistema experimental

Como escribí en un comienzo, uno de nuestros objetivos es obtener nanotubos de carbono ‒por el momento, de una sola capa‒ mediante el método de ablación láser. Para este fin, el blanco es preparado con una mezcla de grafito en polvo y cobalto/níquel ‒también en polvo‒ a una proporción atómica de 1%. La mezcla se introduce en un molde de acero y a una presión de 10 toneladas-fuerza se obtiene una pastilla de 2 cm de diámetro y aproximadamente 0.5 cm de espesor. De esta manera, el blanco tiene la suficiente estabilidad mecánica para ser manipulado y colocado dentro del reactor de acero.

El láser que tenemos en el laboratorio, es un láser Nd-YAG ‒acrónimo del inglés neodymium-doped yttrium aluminium garnet ‒ con la potencia suficiente para la ablación del blanco de grafito. Este equipo realiza la emisión de láser mediante un medio sólido, formado de cristales de óxido de itrio y aluminio y con dopaje de neomidio (Nd:Y₃Al₅O₁₂). El láser producido tiene una longitud de onda de 1064 nm ‒en la región infrarroja del espectro electromagnético‒ aunque el equipo también genera rayos de longitud de onda de 532 nm ‒luz visible de color verde‒, 355 nm y 266 nm ‒región ultravioleta‒. En nuestro caso, estamos utilizando el láser de 532 nm por tener todavía un buen nivel de potencia (el costo por disminuir la longitud de onda fundamental de 1064 nm, es una disminución de la potencia) y también por seguridad. Es mejor que un rayo láser de alta potencia sea visible para evitar una exposición del rayo en nuestra piel.

Esquema del sistema experimental.

Para concentrar el rayo láser en el blanco, utilizamos una lente convexa con una distancia focal de 32 cm. Es decir, a esta distancia podemos concentrar el rayo láser en un punto. ¿Quién de niño no concentró los rayos solares mediante una lupa y quemó un trozo de papel? La idea es básicamente la misma que la de la lupa. Al concentrar el rayo láser, incrementamos la energía ‒por unidad de área‒ en un punto en la superficie del blanco de grafito, facilitando así, la generación del grafito vaporizado.

En este momento, aún estamos en la etapa de pruebas preliminares. Ya logramos generar el plasma dentro del reactor, y esperamos que dentro de unas semanas comencemos oficialmente con la producción de nanotubos de carbono de una sola capa. Ya les estaré comentando más adelante sobre las características de los nanotubos que vayamos obteniendo y sus posibles aplicaciones.

Analogías y modelos en la ciencia

Artículo publicado  el 17 de julio de 2013 en Papel de periódico (http://papeldeperiodico.com/2013/07/17/analogias-y-modelos-en-la-ciencia/)

A) Neurona;
B) Cable de tres alambres aislados.

Todos hemos intentado explicar un tema a alguien que no lo conoce. En general utilizamos conocimientos en común para establecer un puente de entendimiento. Por ejemplo, para explicar la función de la mielina, que es una lipoproteína aislante que recubre los axones de las neuronas facilitando la transmisión de impulsos eléctricos, podríamos referirnos a la cubierta aislante de los alambres de un cable telefónico, cuya función es evitar que se toquen entre sí, evitando algún error en la señal eléctrica transmitida. En este sentido, podríamos añadir que un daño en el aislante de los alambres, provocaría problemas en la transmisión de información. Por lo tanto, se nos facilitaría la explicación de los síntomas que provoca la enfermedad deParkinson: pérdida de motricidad fina debido a una deficiencia de mielina en los axones.

La analogía

El eficiente recurso cognitivo que hace que las personas aprendan con relativa facilidad sobre conceptos o temas que desconocen, se conoce como analogía y en un sentido más formal, podría llamarse modelo.

Las analogías las utilizamos con frecuencia; un ejemplo de ellas son las explicaciones que les damos a los niños sobre algún fenómeno del mundo. Algo similar ocurre en el ámbito científico, de hecho, el avance de la ciencia le debe mucho a las analogías ya que un concepto fundamental de un campo de conocimiento puede “transportarse” a otros más.

Aunque todos sabemos ‒por lo menos intuitivamente‒ qué es una analogía, vale la pena definirla en las claras palabras de la investigadora en razonamiento analógico, Dedre Gentner*:

La analogía es una herramienta para expresar que dos situaciones o campos comparten una estructura relacional a pesar del nivel de diferencia arbitrario existente entre los objetos que componen dichos campos. Las relaciones comunes son esenciales en una analogía, no así los objetos comunes.

El modelo

Esquema sobre la creación de modelos

Un modelo, puede ser definido como una representación conceptual ‒lógicamente coherente‒ de un conjunto de fenómenos naturales o sociales que nos permite aprehender hasta cierto punto la “realidad” circundante, de manera tal, que podemos analizarla, sistematizarla, y por consiguiente, predecirla. El modelo puede hacerse tan complejo o tan sencillo según represente una profunda teoría científica o una sencilla aplicación tecnológica.

Un modelo, al igual que una analogía, puede trasladarse de un campo de conocimiento a otro, aunque su nivel de sofisticación es mayor en tanto que puede contar con variables de entrada, una dinámica interna ‒a varios niveles de complejidad‒ y respuestas a la salida. Estas características permiten que sus variables abstractas adquieran las particularidades de las variables de la potencial disciplina de traslado.

Siguiendo con nuestro ejemplo del axón recubierto de mielina, el modelo podría consistir de un material cilíndrico largo con la propiedad de transportar información de un punto a otro y rodeado de otro material que lo aísla del exterior. En este sentido, las largas neuronas motoras, los alambres de cable telefónico, o incluso la fibra óptica, podrían “modelarse” de tal forma.

El modelo en la ciencia

Un ejemplo emblemático de modelo en la ciencia, lo podemos encontrar en el modelo atómico del científico neozelandés Ernest Rutherford (en 1911), en el cual los electrones giran alrededor del núcleo atómico de manera similar que los planetas giran alrededor del sol. Tal modelo permitió una mayor comprensión de la estructura del átomo debido a que en gran parte del colectivo académico ‒e incluso popular‒ subyacía la idea del modelo heliocéntrico del sistema planetario. Así, vemos como un modelo a escala astronómica pudo ser trasladado a una escala atómica. Cabe mencionar que años más tarde este modelo se modificó ‒debido al cambio de paradigma provocado por la mecánica cuántica‒ para llegar al modelo atómico de Niels Bohr.

A) Modelo atómico de Rutherford;
B) Sistema planetario helicéntrico.

Ejemplos como este abundan en la ciencia y también en la ingeniería. De hecho, un circuito eléctrico puede modelarse matemáticamente en forma idéntica que uno hidráulico o uno mecánico. Incluso un fenómeno social, bajo ciertas condiciones, podría modelarse como un circuito eléctrico sencillo. Por ejemplo, un santuario (templo o centro al que peregrinan numerosos fieles de una determinada religión) podría representarse como un circuito de condensador eléctrico (hace algunos años, un primo mío, quien es antropólogo, llegó a referirse a los santuarios como condensadores simbólicos).

Como podemos observar, modelos físicos, químicos o biológicos (entre otros), pueden trasladarse ‒bajo ciertas restricciones‒ a fenómenos sociales, lográndose crear un puente de comunicación entre las ciencias naturales ‒o formales‒ y las ciencias sociales. Los especialistas de estos campos científicos indudablemente ven enriquecidas sus ópticas respectivas, y en un momento dado, por qué no, hasta podrían realizar investigación multidisciplinaria. Quizá ahora nos resulten familiares los términos ‘relativismo histórico’ o ‘darwinismo social’ ‒por decir algunos‒ debido a la obra revolucionaria de científicos naturales como Albert Einstein y Charles Darwin.

El estudio de modelos generales en diferentes campos científicos ya fue realizado por científicos de la talla de Alexander Bogdánov (creador de la Tectología ‒ciencia general sobre la organización‒, en 1920), Norbert Wiener (creador de la Cibernética, en 1942), y Ludwig von Bertelanffy (creador de la Teoría General de los Sistemas, en 1950). Bogdánov fue médico, filósofo, sociólogo y economista soviético; Wiener fue matemático y filósofo estadounidense (de hecho en su adolescencia comenzó estudios en zoología, que después abandonó); y Bertelanffy fue un biólogo austríaco.

Consideraciones finales

Como pudimos ver, todos utilizamos analogías ‒o modelos‒ en nuestra vida diaria. La ciencia también lo hace pero con un gran nivel de sofisticación. No hay que perder de vista que los modelos pueden detallarse a un nivel de complejidad tan elevado como sea posible trabajar con ellos, o también pueden hacerse más sencillos, ganando generalidad. Y bueno, tampoco olvidemos que los modelos que actualmente sustentan la ciencia tienen vigencia en función de los paradigmas científicos dominantes.

Así que, cada vez que le explique a un niño en sus propios términos un concepto complejo, como el funcionamiento de un órgano biológico, de un tren, o de un aeroplano, sea consciente que es así como la ciencia generalmente trabaja. Como bien dijo Albert Einstein: “La ciencia no es más que un refinamiento del pensamiento cotidiano”.

Referencia:

*Gentner, D.; Markman, A. D. Structure Mapping in Analogy and Similarity, American Psychologist 1997, 52, 45-56.

¿Las Culturas Fracasadas?

En una escapada a la librería, en Alicante, adquirí un libro que me impactó por su nombre: Las culturas fracasadas. El talento y la estupidez de las sociedades (Anagrama, 2010), del filósofo y pedagogo español José Antonio Marina. Tal título me sugirió que podría tratarse de un análisis comparativo de diferentes culturas a través de la historia. Me interesó conocer la visión, sobre tan importante tema, de un filósofo europeo actual.

El libro –quien el propio J. A. Marina describe como peculiar– pretende ser un experimento social (de hecho, el comienzo de un movimiento social) mediante el cual el autor invita a sus lectores a colaborar en el desarrollo de una teoría crítica de las culturas. La teoría estaría basada en el concepto de inteligencia social, buscando hacer viable un amplio y profundo estudio sobre los errores de la humanidad (en función de las culturas) para minimizar la posibilidad de volverlos a cometer. Hace hincapié en que la teoría tiene que ser crítica por la necesidad de analizar bajo un mismo esquema a las culturas –solucionando lo que él llama la imposibilidad o impertinencia de criticarlas– y así, poder hacer una evaluación de ellas (con la “medición” de su “coeficiente intelectual social”). De tal forma –prosigue– se podría discriminar entre distintas culturas para elegir lo mejor de cada una (o eliminar lo “peor”) y aplicarlo en beneficio del avance civilizatorio global.

J. A. Marina genera el concepto de inteligencia social de manera inductiva partiendo de la inteligencia de la pareja amorosa, siguiendo con la inteligencia de las familias, de los equipos de trabajo, de las ciudades hasta llegar a la inteligencia social. Una pareja o una sociedad inteligente –dice– poseen un capital social elevado. Por lo tanto, ante la posibilidad de fracaso en la pareja, en la familia o en los equipos, el autor generaliza el fracaso a las sociedades mismas. También realiza un análisis interesante sobre las sociedades hiperindividualizadas (que alientan en extremo la individualización) y en el otro extremo del espectro, de las sociedades masa (como las de los regímenes absolutistas). Concluye esta parte diciendo que un capital social elevado –por consiguiente, una sociedad altamente inteligente, basada en el pensamiento crítico– podría estar a la mitad del espectro.

El autor expone con claridad y erudición cada parte del libro. Su retórica y argumentación son efectivas. Aunque en particular hay una sección que no resiste al menor de los análisis. En la sección donde habla sobre la cultura y su alcance (capítulo III, pág. 71), menciona:

Dicen los antropólogos que los nativos del desierto de Kalahari, que se limitan a recoger alimentos y cazar, poseen un vocabulario de aproximadamente ochenta palabras, y que su sistema de comunicación se apoya tanto en posturas y gesticulaciones que tienen dificultad para comunicarse en la oscuridad. Las palabras no se han independizado del contexto práctico. No hace falta ser etnocéntrico para afirmar que este lenguaje –es decir, esta creación de la inteligencia colectiva– es inferior a los lenguajes más evolucionados, porque limita las posibilidades de comunicación y pensamiento. Dos grandes psicólogos, Vygotski y Luria, estudiaron algunas tribus del sur de Rusia y comprobaron que eran incapaces de pensamiento abstracto. Su cultura, –es decir, su inteligencia colectiva– frenó el desarrollo de su inteligencia individual.

No se necesita tener una formación humanista para darse cuenta de que J. A. Marina está siendo prejuicioso. Está discriminando el lenguaje de poblaciones que él considera primitivo. Habla sobre los lenguajes “más evolucionados” que sí permiten amplia comunicación y pensamiento y concluye que un “lenguaje primitivo” genera pobreza intelectual individual.

A manera de respuesta, vale la pena colocar una nota que realizó el lingüista español Juan

Juan Carlos Moreno Cabrera

Carlos Moreno Cabrera ante lo dicho sobre los nativos del Kalahari en su libro La Dignidad e Igualdad de las Lenguas. Crítica de la Discriminación Lingüística (Alianza Editorial, 2000). Por cierto, J. C. Moreno Cabrera colocó esta nota (pág. 42) debido a que J. A. Marina ya había utilizado previamente esta misma información –cuyo autor es C. Rule (1967)– en su libro La selva del Lenguaje (1998). La nota dice así:

… No hace falta ir al desierto de Kalahari para comprender que estos nativos tienen palabras sobre las partes del cuerpo humano, de la cara, de los órganos vitales del ser humano; tienen nombres para las cosas de su entorno físico que incluyen nombres de animales, de plantas, de accidentes geográficos, de fenómenos naturales; tienen palabras para su historia, sus fantasías, sus sueños, sus necesidades, sus temores, sus sentimientos. No hay lenguas que tengan sólo ochenta palabras... A C. Rule habría que decirle que el diccionario de bosquimano (Bleek, 1956) tiene 773 páginas, en las que con seguridad se incluyen más de ochenta palabras.

Creo que esta respuesta es contundente tanto para C. Rule como para J. A. Marina. Lo que me intriga no es que éste haya utilizado la información de aquel por vez primera en su libro La Selva del Lenguaje, sino que la haya vuelto a utilizar después de que se publicó el libro de J. C. Moreno Cabrera en el año 2000. Además, el prestigioso lingüista británico David Crystal en su libro La Muerte de las Lenguas (Cambridge, 2001) también hace una crítica a este tipo de información (de hecho hace mención de lo que C. Rule publicó, en una nota de la página 44), no validada científicamente.

Quizá J. A. Marina no leyó los libros que critican esta postura, pero la enorme erudición que despliega en su libro indicaría que es poco probable que esto haya ocurrido. Más bien utilizó fuentes que él creyó convenientes para el desarrollo de su teoría.

En general, su libro es interesantísimo, ya que explica y analiza una gran variedad de temas que entrelaza con soltura, y como él pretende, es posible que su libro genere un movimiento social. Pero lo que causa temor es que su desarrollo argumental está entretejido con un darwinismo social que valida el “triunfo” de las culturas más “fuertes” sobre las “débiles”. J. A. Marina, justifica así un imperialismo que pretende homogeneizar las culturas que componen nuestro mundo a una dominante (la más “inteligente” bajo su esquema). La forma en que él trata a los lenguajes de los pueblos “primitivos” es un indicador, entre otras cosas más, de esta pretensión. No es difícil inferir que las culturas “más inteligentes” para él serían las occidentales.

Llegar a lo que J. A. Marina pretende: una inteligencia social de la humanidad universal, implicaría la destrucción o “asimilación” de otras muchas culturas, la muerte de muchas lenguas, el fin de incontables maneras de ver el mundo, entre otros efectos que, más que enriquecer, empobrecería a la humanidad. Añade que con su plan se aprovecharía la sabiduría de la historia. ¿Qué acaso la historia, como la conocemos, no fue escrita por los vencedores, es decir, las culturas dominantes de otras culturas? Esto tiene un nombre: imperialismo.

La diversidad en las culturas (como el lenguaje, que es uno de sus productos) nos permite a todos aprender de otras cosmovisiones; solucionar los problemas fundamentales de la sociedad bajo otros esquemas; anhelar y soñar bajo otra estética. A mi parecer sería más enriquecedor que todas las culturas del mundo aprendieran a respetarse a sí mismas respetando la existencia de todas las demás; que descubrieran que su riqueza radica en su misma diversidad; que en lugar de competir para ir eliminando las culturas “fracasadas” compartieran entre sí sus valores para conformar un saludable y diverso ecosistema cultural.

(Texto publicado en noviembre de 2012, en San Luis Potosí, México).

Las Sorprendentes Cónicas

Una vitrina de un comercio en la calle permite que usted se refleje. Aunque las arrugas en su rostro han ganado cierta profundidad, ahora no le importa, sus ojos se fijan en su leve sonrisa que devela que ha pasado unas horas placenteras. ¿Cómo no podían serlo? El partido de fútbol fue emocionante, pero sobre todo usted gozó observando las maravillosas trayectorias del balón al ir de un lugar a otro en la cancha. Ahora usted prosigue despacio su camino con dirección a casa. Su mente aísla una y otra vez las nítidas curvas de la pelota del choque entre cuerpos; de los frenéticos gritos; de las tristes pausas en las que el balón yacía en el pasto... suspira.

Entra a su casa y en forma automática se dirige a la biblioteca. Usted sabe de momento que tales curvas que el balón formó se llaman parábolas, y también que la palabra “parábola” devino en “palabra” en tiempos en que el latín vulgar de la Europa medieval engullía palabras extranjeras, en este caso del griego. Para corroborar lo que sabe, encuentra la etimología correspondiente y lee en voz alta con su hablar lento y pastoso:

–Parábola viene de παραβολή (parabolé), de παρά, junto a, al lado, y βάλλω, lanzar, y significa narración alegórica que contiene una enseñanza por comparación y semejanza, y también curva abierta con dos ramas y plana, simétrica con respecto de un eje.

En su mente aparece una de las trayectorias del balón: una rama se generó por un violento contacto con el pie y la otra terminó en el pasto o en el pie de otro jugador. De inmediato, acariciándose la barbilla, usted reflexiona:

–La trayectoria del balón sería realmente una curva plana si hiciera poco viento y si además el golpeo del balón careciera de efecto o “chanfle”. La parábola es sólo la representación ideal de la trayectoria real de un balón o cualquier proyectil.

Siguiendo con la reflexión, usted se da cuenta que la parábola de la trayectoria del balón es simétrica con respecto a un eje vertical que cruza el punto de elevación máxima, ya que el balón se eleva, a cierta distancia alcanza la máxima altura y luego cae tocando el pasto a la misma distancia a partir de su cénit. Y por supuesto, todo esto bajo la acción de la gravedad (en su mente aparece Isaac Newton observando una manzana).

De inmediato, usted toma un viejo libro de un baúl que en sus buenos tiempos lució un color azul brillante. Lo desempolva un poco, lo abre y recuerda que esta obra le ayudó a aprobar de modo satisfactorio un curso de matemáticas. Después de hojear por un momento, usted encuentra la sección donde se aborda el análisis de curvas parabólicas. Ahora recuerda que una parábola es miembro de una familia de curvas denominadas cónicas. Sus cansados ojos ahora se muestran ágiles al seguir su dedo índice entre las líneas de la página.

Mientras usted repasa la sección de las cónicas, en su mente construye la superficie opaca de un cono apoyado sobre su base en un plano horizontal. Otro plano paralelo realiza un corte al cono. Usted observa ahora al cono trunco desde arriba y es capaz de visualizar una circunferencia como resultado del corte. Otros cortes paralelos generan otras circunferencias de un tamaño proporcional a la altura donde el cono fue cortado. Usted sabe que ha obtenido al primer miembro de la familia de las cónicas: la circunferencia.

Si usted inclina al plano cortante, verá con satisfacción que obtiene “circunferencias alargadas”. Entre más incline al plano de corte, más “alargada” será la “circunferencia”.  En este momento usted ha obtenido al segundo miembro de las cónicas: la elipse. Cierra los ojos, y ahora imagina las órbitas de los planetas y cometas, éstas son elípticas… usted suspira de satisfacción.

Prosigue con los cortes al cono. Ahora usted inclina más aún al plano cortante, de tal forma que ya no logra atravesar de lado a lado al cono. El corte se dirige hacia la base. La curva resultante ya no es cerrada. Es abierta… por fin usted obtiene a la parábola. Mueve el plano de corte, lo inclina más… ahora menos… se da cuenta que puede obtener un número infinito de parábolas que bien podrían corresponder a las trayectorias del balón que observó durante el juego.

Para la última de las cónicas, usted crea en su mente dos conos opuestos unidos en sus vértices. Un eje de simetría pasa a través del centro de las bases y los vértices. Vuelve a utilizar al plano cortante para cortar ambos conos. En un momento dado, si usted inclina demasiado al plano, sólo alcanza a cortar un cono: vuelve a obtener una parábola, así que se regresa para cortar a los dos. Usted está generando dos curvas abiertas y opuestas que se denominan hipérbolas. Deja a un lado el libro de matemáticas y toma el de etimologías griegas. Vuelve a leer:

–Hipérbola proviene de υπέρβολή, de υπέρ, sobre, encima, exceso, superioridad, y βάλλω, lanzar, y significa literalmente “tirar encima o con superioridad”. Se utiliza en geometría para referirse a una curva plana y simétrica que resulta de cortar una superficie cónica por un plano generalmente paralelo a su eje.

Como dato interesante, usted encuentra debajo de la definición que el geómetra griego Apolonio de Perge, nacido en 262 a. C., fue quien le dio nombre a las cónicas: elipse, parábola e hipérbola.

De pronto usted siente un ligero dolor en las rodillas. La ida al estadio, las aglomeraciones, la caminata y la búsqueda de información lo han agotado. Se dirige a la cocina y se prepara un café espumoso. Después, usted va hacia la sala donde lo espera su sillón predilecto que está situado frente a una amplia ventana de vidrios gruesos que le permite ver ahora la puesta del sol. Las casonas parecen mecerse derramando chispas anaranjadas a través de los vidrios. El viento parece arrullar al vecindario... En ese momento, usted cierra los ojos y se dispone a meditar sobre lo que leyó momentos antes.

Usted piensa en la primera cónica: la circunferencia. Sabe que cada punto de ésta equidista de su centro: su excentricidad es cero. Si ésta comienza a “alargarse” devendrá en elipse y el centro se “dividirá” en dos puntos, o focos, que van alejándose conforme el eje mayor se incrementa con respecto al menor. Según lo que usted leyó, la excentricidad de esta curva es mayor que cero pero menor que uno. Una propiedad interesante de la elipse es que la suma de las distancias de un punto de la curva a cada foco es la misma para todos los puntos de la elipse.

Usted prosigue con la parábola. Dice en voz alta, mientras se balancea de atrás para adelante:

–La excentricidad de la parábola es igual a uno… mmm, es decir... cuando la excentricidad de la curva sea mayor que cero pero menor que uno, es elipse, pero cuando sea igual a uno, la curva cerrada se abrirá y se convertirá en parábola. ¡Qué interesante!

Usted se reacomoda en el sillón y frota sus manos. Cerrando los ojos se imagina al Principito con un

balón en su pequeño planeta, el asteroide B612. El Principito comienza pateando la pelota con cierta debilidad. Ésta se eleva y cae describiendo una trayectoria parabólica. B612 es tan pequeño que cuando el Principito comienza a patear el balón con más fuerza, éste recorre casi un cuarto de su perímetro. Al incrementar más la fuerza de pateo, el balón recorre casi la mitad del perímetro. La trayectoria tiende a cerrarse… ya no es parábola, ¡es elipse!… Por último, el Principito patea el balón con toda su fuerza. El balón se eleva para no volver a tocar la superficie de B612. El balón ahora estará cayendo por siempre hacia el asteroide con una órbita elíptica: éste es ahora un satélite artificial de B612. Usted infiere que es así como en la Tierra ponen en órbita a los satélites artificiales, ¡claro! mediante cohetes.

Vuelve a levantarse por más café. Mientras usted se dirige a la cocina, va repasando en su mente lo leído con anterioridad: la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamada foco. El eje de simetría de esta cónica pasa por el foco y cruza perpendicularmente a la directriz.

Poco después, usted regresa al sillón. Coloca su taza de café humeante sobre una mesita de caoba, y enseguida se hunde en sus pensamientos.

Usted considera que además de la importante aplicación de esta curva en el modelado matemático de la trayectoria de un proyectil, también es importante el aprovechamiento de la siguiente propiedad de la parábola: cualquier rayo paralelo a su eje que se refleje en la cónica, se dirigirá hacia su foco. De pronto, se le viene a la mente una antena parabólica. La superficie de esta antena se conoce como paraboloide, la cual se genera si se hace rotar una parábola con respecto a su eje de simetría. Es así que la radiación electromagnética que llega a la antena, puede reflejarse en su superficie y concentrarse después en el foco. Ahora usted imagina el caso práctico opuesto: los rayos de luz emitidos del foco de una lámpara de mano, se reflejan en el reflector paraboloide que está detrás. Así, los rayos salen al exterior en forma paralela.

Usted cambia de posición en el sillón. La oscuridad casi es completa en la sala. Toma un poco de café y lentamente repasa con imágenes lo que leyó acerca de la última cónica: la hipérbola. Sabe que su excentricidad es mayor que uno, lo que la convierte en la curva más desviada con respecto a la circunferencia. Usted repasa la definición de la hipérbola: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Es entonces que trae a su mente, debido a su afición a la astronomía, que en el diseño y construcción de telescopios reflectores, se utilizan espejos hiperbólicos en combinación con espejos parabólicos. Además, usted sabe que algunos cuerpos celestes atraídos por la fuerza gravitacional del Sol, describen órbitas hiperbólicas con el Sol ubicado en un foco, para luego salir para siempre del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

Finalmente, usted se levanta del sillón, mueve un poco su cabeza que comienza a cosquillearle y agita los hombros para descansarlos. La oscuridad ya es total. Se percata de que ya es tarde. Se preparará ahora para dormir. Aunque agotado, usted se siente satisfecho de haber tenido una serie de reflexiones tan interesantes. Concluye que mediante las matemáticas es posible obtener modelos que logran describir nuestro mundo físico.