Una vitrina de un comercio en la calle permite que usted se
refleje. Aunque las arrugas en su rostro han ganado cierta profundidad, ahora
no le importa, sus ojos se fijan en su leve sonrisa que devela que ha pasado unas
horas placenteras. ¿Cómo no podían serlo? El partido de fútbol fue emocionante,
pero sobre todo usted gozó observando las maravillosas trayectorias del balón
al ir de un lugar a otro en la cancha. Ahora usted prosigue despacio su camino con
dirección a casa. Su mente aísla una y otra vez las nítidas curvas de la pelota
del choque entre cuerpos; de los frenéticos gritos; de las tristes pausas en
las que el balón yacía en el pasto... suspira.
Entra a su casa y en forma automática se dirige a la
biblioteca. Usted sabe de momento que tales curvas que el balón formó se llaman
parábolas, y también que la
palabra “parábola” devino en “palabra” en tiempos en que el latín vulgar de la
Europa medieval engullía palabras extranjeras, en este caso del griego. Para
corroborar lo que sabe, encuentra la etimología correspondiente y lee en voz
alta con su hablar lento y pastoso:
–Parábola viene de παραβολή (parabolé), de παρά, junto a,
al lado, y βάλλω, lanzar, y significa narración alegórica que contiene una
enseñanza por comparación y semejanza, y también curva abierta con dos ramas y
plana, simétrica con respecto de un eje.
En su mente aparece una de las trayectorias del balón: una
rama se generó por un violento contacto con el pie y la otra terminó en el
pasto o en el pie de otro jugador. De inmediato, acariciándose la barbilla,
usted reflexiona:
–La trayectoria del balón sería realmente una curva plana
si hiciera poco viento y si además el golpeo del balón careciera de efecto o
“chanfle”. La parábola es sólo la representación ideal de la trayectoria real
de un balón o cualquier proyectil.
Siguiendo con la reflexión, usted se da cuenta que la parábola
de la trayectoria del balón es simétrica con respecto a un eje vertical que
cruza el punto de elevación máxima, ya que el balón se eleva, a cierta
distancia alcanza la máxima altura y luego cae tocando el pasto a la misma
distancia a partir de su cénit. Y por supuesto, todo esto bajo la acción de la
gravedad (en su mente aparece Isaac Newton observando una manzana).
De inmediato, usted toma un viejo libro de un baúl que en
sus buenos tiempos lució un color azul brillante. Lo desempolva un poco, lo
abre y recuerda que esta obra le ayudó a aprobar de modo satisfactorio un curso
de matemáticas. Después de hojear por un momento, usted encuentra la sección
donde se aborda el análisis de curvas parabólicas. Ahora recuerda que una
parábola es miembro de una familia de curvas denominadas cónicas. Sus cansados ojos
ahora se muestran ágiles al seguir su dedo índice entre las líneas de la página.
Mientras usted repasa la sección de las cónicas, en su
mente construye la superficie opaca de un cono apoyado sobre su base en un
plano horizontal. Otro plano paralelo realiza un corte al cono. Usted observa ahora
al cono trunco desde arriba y es capaz de visualizar una circunferencia como
resultado del corte. Otros cortes paralelos generan otras circunferencias de un
tamaño proporcional a la altura donde el cono fue cortado. Usted sabe que ha
obtenido al primer miembro de la familia de las cónicas: la circunferencia.
Si usted inclina al plano cortante, verá con satisfacción
que obtiene “circunferencias alargadas”. Entre más incline al plano de corte,
más “alargada” será la “circunferencia”. En este momento usted ha obtenido al segundo
miembro de las cónicas: la elipse. Cierra los ojos, y ahora imagina las órbitas
de los planetas y cometas, éstas son elípticas… usted suspira de satisfacción.
Prosigue con los cortes al cono. Ahora usted inclina más
aún al plano cortante, de tal forma que ya no logra atravesar de lado a lado al
cono. El corte se dirige hacia la base. La curva resultante ya no es cerrada.
Es abierta… por fin usted obtiene a la parábola. Mueve el plano de corte, lo
inclina más… ahora menos… se da cuenta que puede obtener un número infinito de
parábolas que bien podrían corresponder a las trayectorias del balón que observó
durante el juego.
Para la última de las cónicas, usted crea en su mente dos
conos opuestos unidos en sus vértices. Un eje de simetría pasa a través del
centro de las bases y los vértices. Vuelve a utilizar al plano cortante para
cortar ambos conos. En un momento dado, si usted inclina demasiado al plano,
sólo alcanza a cortar un cono: vuelve a obtener una parábola, así que se
regresa para cortar a los dos. Usted está generando dos curvas abiertas y opuestas
que se denominan hipérbolas. Deja a un lado el libro de matemáticas y toma el
de etimologías griegas. Vuelve a leer:
–Hipérbola proviene de υπέρβολή, de υπέρ, sobre, encima,
exceso, superioridad, y βάλλω, lanzar, y significa literalmente “tirar encima o
con superioridad”. Se utiliza en geometría para referirse a una curva plana y
simétrica que resulta de cortar una superficie cónica por un plano generalmente
paralelo a su eje.
Como dato interesante, usted encuentra debajo de la
definición que el geómetra griego Apolonio de Perge, nacido en 262 a. C., fue
quien le dio nombre a las cónicas: elipse, parábola e hipérbola.
De pronto usted siente un ligero dolor en las rodillas. La
ida al estadio, las aglomeraciones, la caminata y la búsqueda de información lo han agotado. Se
dirige a la cocina y se prepara un café espumoso. Después, usted va hacia la
sala donde lo espera su sillón predilecto que está situado frente a una amplia
ventana de vidrios gruesos que le permite ver ahora la puesta del sol. Las
casonas parecen mecerse derramando chispas anaranjadas a través de los vidrios.
El viento parece arrullar al vecindario... En ese momento, usted cierra los
ojos y se dispone a meditar sobre lo que leyó momentos antes.
Usted piensa en la primera cónica: la circunferencia. Sabe
que cada punto de ésta equidista de su centro: su excentricidad es cero. Si ésta comienza a “alargarse”
devendrá en elipse y el centro se “dividirá” en dos puntos, o focos, que van
alejándose conforme el eje mayor se incrementa con respecto al menor. Según lo
que usted leyó, la excentricidad de esta curva es mayor que cero pero menor que
uno. Una propiedad interesante de la elipse es que la suma de las distancias de
un punto de la curva a cada foco es la misma para todos los puntos de la
elipse.
Usted prosigue con la parábola. Dice en voz alta, mientras
se balancea de atrás para adelante:
–La excentricidad de la parábola es igual a uno… mmm, es
decir... cuando la excentricidad de la curva sea mayor que cero pero menor que
uno, es elipse, pero cuando sea igual a uno, la curva cerrada se abrirá y se
convertirá en parábola. ¡Qué interesante!
Usted se reacomoda en el sillón y frota sus manos. Cerrando
los ojos se imagina al Principito con un
balón en su pequeño planeta, el
asteroide B612. El Principito comienza pateando la pelota con cierta debilidad.
Ésta se eleva y cae describiendo una trayectoria parabólica. B612 es tan
pequeño que cuando el Principito comienza a patear el balón con más fuerza,
éste recorre casi un cuarto de su perímetro. Al incrementar más la fuerza de
pateo, el balón recorre casi la mitad del perímetro. La trayectoria tiende a
cerrarse… ya no es parábola, ¡es elipse!… Por último, el Principito patea el
balón con toda su fuerza. El balón se eleva para no volver a tocar la
superficie de B612. El balón ahora estará cayendo por siempre hacia el
asteroide con una órbita elíptica: éste es ahora un satélite artificial de
B612. Usted infiere que es así como en la Tierra ponen en órbita a los
satélites artificiales, ¡claro! mediante cohetes.
Vuelve a levantarse por más café. Mientras usted se dirige a
la cocina, va repasando en su mente lo leído con anterioridad: la parábola se
define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una
recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamada foco. El eje de
simetría de esta cónica pasa por el foco y cruza perpendicularmente a la
directriz.
Poco después, usted regresa al sillón. Coloca su taza de
café humeante sobre una mesita de caoba, y enseguida se hunde en sus
pensamientos.
Usted considera que además de la importante aplicación de
esta curva en el modelado matemático de la trayectoria de un proyectil, también
es importante el aprovechamiento de la siguiente propiedad de la parábola: cualquier
rayo paralelo a su eje que se refleje en la cónica, se dirigirá hacia su foco.
De pronto, se le viene a la mente una antena parabólica. La superficie de esta
antena se conoce como paraboloide, la cual se genera si se hace rotar una
parábola con respecto a su eje de simetría. Es así que la radiación
electromagnética que llega a la antena, puede reflejarse en su superficie y
concentrarse después en el foco. Ahora usted imagina el caso práctico opuesto:
los rayos de luz emitidos del foco de una lámpara de mano, se reflejan en el
reflector paraboloide que está detrás. Así, los rayos salen al exterior en
forma paralela.
Finalmente, usted se levanta del sillón, mueve un poco su
cabeza que comienza a cosquillearle y agita los hombros para descansarlos. La
oscuridad ya es total. Se percata de que ya es tarde. Se preparará ahora para
dormir. Aunque agotado, usted se siente satisfecho de haber tenido una serie de
reflexiones tan interesantes. Concluye que mediante las matemáticas es posible
obtener modelos que logran describir nuestro mundo físico.
Saludos. Blogger no tiene una sección de comentarios general, pero aprovecho para comentarte que tienes muy buena prosa en tus posts (y mucha paciencia para responder a obvios charlatanes). Seguiré tu blog con curiosidad. Saludos, otro inegiero.
ResponderEliminarSaludos. Blogger no tiene una sección de comentarios general, pero aprovecho para comentarte que tienes muy buena prosa en tus posts (y mucha paciencia para responder a obvios charlatanes). Seguiré tu blog con curiosidad. Saludos, otro inegiero.
ResponderEliminarGracias G.P.Plascencia. Estoy formándome como divulgador de la ciencia, debo mejorar aún más. Sin duda tu opinión me motiva a seguir adelante.
ResponderEliminarQue estés muy bien ingeniero.
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