jueves, 1 de enero de 2015

Las Sorprendentes Cónicas

Una vitrina de un comercio en la calle permite que usted se refleje. Aunque las arrugas en su rostro han ganado cierta profundidad, ahora no le importa, sus ojos se fijan en su leve sonrisa que devela que ha pasado unas horas placenteras. ¿Cómo no podían serlo? El partido de fútbol fue emocionante, pero sobre todo usted gozó observando las maravillosas trayectorias del balón al ir de un lugar a otro en la cancha. Ahora usted prosigue despacio su camino con dirección a casa. Su mente aísla una y otra vez las nítidas curvas de la pelota del choque entre cuerpos; de los frenéticos gritos; de las tristes pausas en las que el balón yacía en el pasto... suspira.

Entra a su casa y en forma automática se dirige a la biblioteca. Usted sabe de momento que tales curvas que el balón formó se llaman parábolas, y también que la palabra “parábola” devino en “palabra” en tiempos en que el latín vulgar de la Europa medieval engullía palabras extranjeras, en este caso del griego. Para corroborar lo que sabe, encuentra la etimología correspondiente y lee en voz alta con su hablar lento y pastoso:

–Parábola viene de παραβολή (parabolé), de παρά, junto a, al lado, y βάλλω, lanzar, y significa narración alegórica que contiene una enseñanza por comparación y semejanza, y también curva abierta con dos ramas y plana, simétrica con respecto de un eje.

En su mente aparece una de las trayectorias del balón: una rama se generó por un violento contacto con el pie y la otra terminó en el pasto o en el pie de otro jugador. De inmediato, acariciándose la barbilla, usted reflexiona:

–La trayectoria del balón sería realmente una curva plana si hiciera poco viento y si además el golpeo del balón careciera de efecto o “chanfle”. La parábola es sólo la representación ideal de la trayectoria real de un balón o cualquier proyectil.

Siguiendo con la reflexión, usted se da cuenta que la parábola de la trayectoria del balón es simétrica con respecto a un eje vertical que cruza el punto de elevación máxima, ya que el balón se eleva, a cierta distancia alcanza la máxima altura y luego cae tocando el pasto a la misma distancia a partir de su cénit. Y por supuesto, todo esto bajo la acción de la gravedad (en su mente aparece Isaac Newton observando una manzana).

De inmediato, usted toma un viejo libro de un baúl que en sus buenos tiempos lució un color azul brillante. Lo desempolva un poco, lo abre y recuerda que esta obra le ayudó a aprobar de modo satisfactorio un curso de matemáticas. Después de hojear por un momento, usted encuentra la sección donde se aborda el análisis de curvas parabólicas. Ahora recuerda que una parábola es miembro de una familia de curvas denominadas cónicas. Sus cansados ojos ahora se muestran ágiles al seguir su dedo índice entre las líneas de la página.

Mientras usted repasa la sección de las cónicas, en su mente construye la superficie opaca de un cono apoyado sobre su base en un plano horizontal. Otro plano paralelo realiza un corte al cono. Usted observa ahora al cono trunco desde arriba y es capaz de visualizar una circunferencia como resultado del corte. Otros cortes paralelos generan otras circunferencias de un tamaño proporcional a la altura donde el cono fue cortado. Usted sabe que ha obtenido al primer miembro de la familia de las cónicas: la circunferencia.



Si usted inclina al plano cortante, verá con satisfacción que obtiene “circunferencias alargadas”. Entre más incline al plano de corte, más “alargada” será la “circunferencia”.  En este momento usted ha obtenido al segundo miembro de las cónicas: la elipse. Cierra los ojos, y ahora imagina las órbitas de los planetas y cometas, éstas son elípticas… usted suspira de satisfacción.

Prosigue con los cortes al cono. Ahora usted inclina más aún al plano cortante, de tal forma que ya no logra atravesar de lado a lado al cono. El corte se dirige hacia la base. La curva resultante ya no es cerrada. Es abierta… por fin usted obtiene a la parábola. Mueve el plano de corte, lo inclina más… ahora menos… se da cuenta que puede obtener un número infinito de parábolas que bien podrían corresponder a las trayectorias del balón que observó durante el juego.

Para la última de las cónicas, usted crea en su mente dos conos opuestos unidos en sus vértices. Un eje de simetría pasa a través del centro de las bases y los vértices. Vuelve a utilizar al plano cortante para cortar ambos conos. En un momento dado, si usted inclina demasiado al plano, sólo alcanza a cortar un cono: vuelve a obtener una parábola, así que se regresa para cortar a los dos. Usted está generando dos curvas abiertas y opuestas que se denominan hipérbolas. Deja a un lado el libro de matemáticas y toma el de etimologías griegas. Vuelve a leer:

–Hipérbola proviene de υπέρβολή, de υπέρ, sobre, encima, exceso, superioridad, y βάλλω, lanzar, y significa literalmente “tirar encima o con superioridad”. Se utiliza en geometría para referirse a una curva plana y simétrica que resulta de cortar una superficie cónica por un plano generalmente paralelo a su eje.

Como dato interesante, usted encuentra debajo de la definición que el geómetra griego Apolonio de Perge, nacido en 262 a. C., fue quien le dio nombre a las cónicas: elipse, parábola e hipérbola.

De pronto usted siente un ligero dolor en las rodillas. La ida al estadio, las aglomeraciones, la caminata y la búsqueda de información lo han agotado. Se dirige a la cocina y se prepara un café espumoso. Después, usted va hacia la sala donde lo espera su sillón predilecto que está situado frente a una amplia ventana de vidrios gruesos que le permite ver ahora la puesta del sol. Las casonas parecen mecerse derramando chispas anaranjadas a través de los vidrios. El viento parece arrullar al vecindario... En ese momento, usted cierra los ojos y se dispone a meditar sobre lo que leyó momentos antes.

Usted piensa en la primera cónica: la circunferencia. Sabe que cada punto de ésta equidista de su centro: su excentricidad es cero. Si ésta comienza a “alargarse” devendrá en elipse y el centro se “dividirá” en dos puntos, o focos, que van alejándose conforme el eje mayor se incrementa con respecto al menor. Según lo que usted leyó, la excentricidad de esta curva es mayor que cero pero menor que uno. Una propiedad interesante de la elipse es que la suma de las distancias de un punto de la curva a cada foco es la misma para todos los puntos de la elipse.

Usted prosigue con la parábola. Dice en voz alta, mientras se balancea de atrás para adelante:

–La excentricidad de la parábola es igual a uno… mmm, es decir... cuando la excentricidad de la curva sea mayor que cero pero menor que uno, es elipse, pero cuando sea igual a uno, la curva cerrada se abrirá y se convertirá en parábola. ¡Qué interesante!

Usted se reacomoda en el sillón y frota sus manos. Cerrando los ojos se imagina al Principito con un
balón en su pequeño planeta, el asteroide B612. El Principito comienza pateando la pelota con cierta debilidad. Ésta se eleva y cae describiendo una trayectoria parabólica. B612 es tan pequeño que cuando el Principito comienza a patear el balón con más fuerza, éste recorre casi un cuarto de su perímetro. Al incrementar más la fuerza de pateo, el balón recorre casi la mitad del perímetro. La trayectoria tiende a cerrarse… ya no es parábola, ¡es elipse!… Por último, el Principito patea el balón con toda su fuerza. El balón se eleva para no volver a tocar la superficie de B612. El balón ahora estará cayendo por siempre hacia el asteroide con una órbita elíptica: éste es ahora un satélite artificial de B612. Usted infiere que es así como en la Tierra ponen en órbita a los satélites artificiales, ¡claro! mediante cohetes.

Vuelve a levantarse por más café. Mientras usted se dirige a la cocina, va repasando en su mente lo leído con anterioridad: la parábola se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamada foco. El eje de simetría de esta cónica pasa por el foco y cruza perpendicularmente a la directriz.

Poco después, usted regresa al sillón. Coloca su taza de café humeante sobre una mesita de caoba, y enseguida se hunde en sus pensamientos.

Usted considera que además de la importante aplicación de esta curva en el modelado matemático de la trayectoria de un proyectil, también es importante el aprovechamiento de la siguiente propiedad de la parábola: cualquier rayo paralelo a su eje que se refleje en la cónica, se dirigirá hacia su foco. De pronto, se le viene a la mente una antena parabólica. La superficie de esta antena se conoce como paraboloide, la cual se genera si se hace rotar una parábola con respecto a su eje de simetría. Es así que la radiación electromagnética que llega a la antena, puede reflejarse en su superficie y concentrarse después en el foco. Ahora usted imagina el caso práctico opuesto: los rayos de luz emitidos del foco de una lámpara de mano, se reflejan en el reflector paraboloide que está detrás. Así, los rayos salen al exterior en forma paralela.

Usted cambia de posición en el sillón. La oscuridad casi es completa en la sala. Toma un poco de café y lentamente repasa con imágenes lo que leyó acerca de la última cónica: la hipérbola. Sabe que su excentricidad es mayor que uno, lo que la convierte en la curva más desviada con respecto a la circunferencia. Usted repasa la definición de la hipérbola: es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Es entonces que trae a su mente, debido a su afición a la astronomía, que en el diseño y construcción de telescopios reflectores, se utilizan espejos hiperbólicos en combinación con espejos parabólicos. Además, usted sabe que algunos cuerpos celestes atraídos por la fuerza gravitacional del Sol, describen órbitas hiperbólicas con el Sol ubicado en un foco, para luego salir para siempre del sistema solar. Esto sucede con algunos cometas.

Finalmente, usted se levanta del sillón, mueve un poco su cabeza que comienza a cosquillearle y agita los hombros para descansarlos. La oscuridad ya es total. Se percata de que ya es tarde. Se preparará ahora para dormir. Aunque agotado, usted se siente satisfecho de haber tenido una serie de reflexiones tan interesantes. Concluye que mediante las matemáticas es posible obtener modelos que logran describir nuestro mundo físico.


4 comentarios:

  1. Saludos. Blogger no tiene una sección de comentarios general, pero aprovecho para comentarte que tienes muy buena prosa en tus posts (y mucha paciencia para responder a obvios charlatanes). Seguiré tu blog con curiosidad. Saludos, otro inegiero.

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  2. Saludos. Blogger no tiene una sección de comentarios general, pero aprovecho para comentarte que tienes muy buena prosa en tus posts (y mucha paciencia para responder a obvios charlatanes). Seguiré tu blog con curiosidad. Saludos, otro inegiero.

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  3. Gracias G.P.Plascencia. Estoy formándome como divulgador de la ciencia, debo mejorar aún más. Sin duda tu opinión me motiva a seguir adelante.

    Que estés muy bien ingeniero.

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